Сначала был звук. И он слышен до сих пор

 Лауреат премии ДВО РАН имени выдающихся учёных Дальнего Востока России

Метод амплитудных уравнений позволяет прогнозировать изменения параметров океана и, возможно, построить математическую модель Гигантского Гексагона на Сатурне

Сергей Борисович КОЗИЦКИЙ

   Нам посчастливилось пообщаться с Сергеем Борисовичем Козицким, старшим научным сотрудником лаборатории 3/2 «Геофизической гидродинамики» Тихоокеанского океанологического института им. В.И. Ильичева ДВО РАН (ТОИ ДВО РАН), кандидатом физико-математических наук.

Сергей Борисович стал лауреатом премии ДВО РАН имени выдающихся учёных Дальнего Востока России в 2023 году: ему присуждена премия ДВО РАН имени профессора У.Х. Копвиллема за цикл работ «Метод амплитудных уравнений в задачах гидродинамики и акустики океана».

Маленькая ветка древа математики

– Сергей Борисович, расскажите немного о цикле работ, за который вам присуждена премия ДВО РАН.

– Следует отметить, что эта премия отмечает не только мою работу, но и деятельность всего нашего небольшого коллектива. Ведь многие статьи, перечисленные в заявке на премию, были написаны в соавторстве с коллегами. Прежде всего следует упомянуть моего научного руководителя доктора физико-математических наук  Михаила Юрьевича Трофимова, без которого я бы не состоялся как учёный. Более того, несколько лет назад больше ради любопытства мы обратили внимание, что научный руководитель М.Ю. Трофимова академик Ю.Л. Ершов был учеником академика А.И. Мальцева, который был учеником знаменитого математика XX века академика А.Н. Колмогорова. Если проследить эту цепочку дальше, то появляются такие имена как К.Ф. Гаусс, Л.Эйлер и Г.В. Лейбниц. Так что нашу группу, может, в шутку, но можно назвать маленькой веткой древа школы Лейбница-Эйлера-Гаусса-Колмогорова. Так или иначе, но М.Ю. Трофимов всегда старался сохранять высокий научный потенциал нашей исследовательской группы и требовал от работ своих учеников максимальной математической строгости. Именно он обратил наше внимание на метод амплитудных уравнений, сопутствующие ему асимптотические и численные методы, и решил, что мы будем ими заниматься применительно к задачам гидродинамики и акустики. В особенности, к таким задачам, которые актуальны для океанологии. Это распространение звука в трёхмерных неоднородных волноводах, например, в шельфовых зонах океана, которые в последнее время пользуются повышенным вниманием, поскольку там находят месторождения нефти и газа. Это распространение внутренних и поверхностных волн в океане, различные виды конвективных явлений и многое другое.

Конференция PRUAC 2015, ДВФУ

Можно ли «портить» уравнения?

– Чем интересен метод амплитудных уравнений? Почему вы выбрали именно этот метод для решения своих задач?

– Внимание к методу амплитудных уравнений, на мой взгляд, выросло на фоне стремительного развития вычислительной техники, что привело к популярности компьютерного моделирования различных физических (и не только) процессов. Сейчас, чтобы твою статью опубликовали, а то и просто заметили в ведущих научных изданиях, нужно представить результаты компьютерного моделирования, иллюстрирующие твои идеи.

Исходные уравнения в частных производных, описывающие различные физические явления, давно и хорошо известны. Например, волновое уравнение, уравнения Эйлера, Навье-Стокса и т.д. Но они далеко не всегда подходят для эффективного численного моделирования. Получается или слишком медленный код, или неустойчивый, или программа просто не вмещается в память. Поэтому возник вопрос: а можно ли исходные уравнения (например, гидродинамики) преобразовать так, несильно их при этом «испортив», чтобы получились более удобные уравнения типа эволюционных, которые проще исходных, и для которых имеются высокоэффективные численные методы, позволяющие выполнять численное моделирование и рисовать красивые картинки в статьях?

В великом множестве случаев, когда мы рассматриваем различные физические задачи, у нас имеется тот или иной малый или большой параметр. Или это будет характерный размер неоднородностей среды, много больше длины звуковой волны, или размер конвективных ячеек оказывается много меньше характерных размеров области конвекции и т.д. Тогда мы можем, используя различные асимптотические методы, например, метод многомасштабных разложений, получить из исходной системы уравнений те самые амплитудные уравнения, которые и дают название методу амплитудных уравнений. Буквально, решение исходных уравнений представляется в виде произведения быстрой фазы колебаний на медленную (по пространству или времени) амплитуду. Решения для фазы получаются либо аналитически, либо как-то не слишком сложно, и всё сводится к уравнениям на амплитуду колебаний. Такие амплитудные уравнения обычно представляют из себя системы уравнений эволюционного типа, которые мы умеем эффективно моделировать численно.

Часто получаются уравнения, которые имеют имена собственные и уже хорошо исследованы. Например, комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение Кортевега де Фриза, параболическое уравнение в подводной акустике и так далее. Известные решения таких уравнений, например, в виде уединённых волн, позволяют сразу же делать заключения о поведении исходной физической системы, даже не прибегая к численному моделированию.

– В чём преимущество метода амплитудных уравнений перед другими?

– Этот метод состоит в том, что он позволяет делать модельные исследования «полного цикла»: начиная от исходных систем уравнений, переходя к анализу больших и малых параметров системы, применяя асимптотические методы, получая в итоге систему амплитудных уравнений, применяя к которой ту или иную эффективную численную схему, мы получаем в итоге пакет прикладных программ, который уже можно использовать для анализа натурных данных и планирования экспериментов. Часто метод амплитудных уравнений позволяет сразу же вскрыть саму физическую суть структур и процессов в исследуемой системе.

– Используемые математические модели описывают массивы существующих данных или позволяют получать прогнозы их изменений в будущем?

– Ожидается, что модели позволят прогнозировать изменения интересующих нас данных в будущем. Собственно, в таких прогнозах и содержится основной смысл моделирования.

На международной научной конференции «Дни дифракции». 2019 год, СПбГУ, постерная сессия

Искусство моделирования

– Какие трудности в подборе моделей встречались, как их разрешали?

– Как обычно в исследовательской деятельности при построении моделей различных физических явлений, будь то конвекция или распространение звука в океане, приходится сталкиваться со множеством различных трудностей. Основная из них, – это ответ на вопрос: насколько точным оказывается выведенное амплитудное уравнение? Описывает ли оно адекватно физическую реальность или в качестве результата выдаёт что-то своё, никому не нужное? Самый популярный способ ответить на этот вопрос – метод тестовых задач. То есть мы в качестве объекта моделирования берём упрощённую по максимуму ситуацию, когда задачу можно решить либо аналитически, либо совсем другими методами, и сравниваем эти решения с решениями, полученными методом амплитудных уравнений.

В случае параболических уравнений в акустике океана в качестве тестовой задачи часто выбирается задача распространения волн в волноводе в форме клина, для которой мы можем получить решения методом изображений источника. Сравнение решений показывает, что метод параболических уравнений в данном случае может быть очень точным. Другая трудность, с которой приходиться сталкиваться – это необходимость большого количества аналитических выкладок при выводе амплитудных уравнений. При ручной работе практически невозможно избежать ошибок. Поэтому приходится использовать специальные программы для символьных вычислений, такие как Maple для проверки полученных результатов. Есть и концептуальные трудности, связанные с выбором медленных и быстрых переменных, а также схем асимптотических разложений в разных задачах. Устранение этих трудностей – своего рода искусство использования метода.

Аэродром Угловое, на дне открытых дверей. 2018 год

От мелкого моря до Гигантского Гексагона

– Имеют ли полученные результаты практическое значение сейчас или они пойдут в «копилку» фундаментальных знаний?

– Результаты исследования характеристик структур и процессов в системах с многокомпонентной конвекцией, пойдут в ту самую «копилку». А пакеты прикладных программ, позволяющие моделировать распространение звуковых сигналов в трёхмерных слоистых волноводах уже активно используются при анализе натурных данных и планировании акустических экспериментов в условиях мелкого моря.

– Какие задачи планируете решать в ближайшем будущем?

– Мне интересны две сложные задачи. Первая связана с моделированием Гигантского Гексагона на Сатурне – большого шестиугольного вихря в районе северного полюса Сатурна. В моих статьях описан подход в рамках парадигмы амплитудных уравнений, позволяющий построить математическую модель этого экзотического и красивого явления. В случае успеха это позволит понять физическую суть Гексагона. Понять, почему он такой?

Вторая задача связана с моделированием байкальских Рингов – тёмных кругов, наблюдаемых время от времени из космоса на льду озёр Байкал и Хубсугул. Высказана гипотеза, что такие структуры связаны с нелинейными конвективными процессами подо льдом озёр при учёте различных осложняющих факторов, таких как вращение Земли. Но ответить на этот вопрос, моделировать структуры методом амплитудных уравнений – ещё предстоит.

На полуострове Гамова. 2018 год

Фото из личного архива Сергея КОЗИЦКОГО